Menerapkan Filsafat Belajar Matematika
Menerapkan Filsafat Belajar
Matematika
Filsafat merupakan salah satu filsafat ilmu khusus yang merupakan cabang
dari filsafat ilmu seumumnya ( Philosophy of Science-in-General ). Filsafat
matematik menurut para filsuf merupakan pemikiran filsafat tentang matematik
untuk memperoleh pemahaman menganai segenap segi apa dan bagaimana matematik
itu. Usaha untuk memahami segenap aspek dari matematika telah menumbuhkan
bidang pengetahuan filsafat matematik yang sangat luas pada dewasa ini.
Pembahasan dalam filsafat matematik tidak terlepas dari filsafat ilmu dan
filsafat pada umumnya.
Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematik merupakan hasil
pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematik itu sendiri. Filsafat
sebagai rangkaian aktivita dari budi manusia pada dasarnya adalah pemikiran
reflektif (reflective thinking). Pemikiran reflektif dapat dicirikan sebagai jenis pemikiran yang terdiri atas mempertimbangkan
secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang
sungguh-sungguh dan terus menerus.
Dengan demikian filsafat matematik pada dasarnya adalah pemikiran reflektif
terhadap matematik. Matematik menjadi pokok soal yang dipertimbangkan secara
cermat dan dengan penuh perhatian. Pemikiran filsafat matematik juga bersifat
reflektif dalam arti menengok diri sendiri untuk memahami bekerjanya budi itu
sendiri.
A. Logika
Logika berasal dari kata Yunani kuno λόγος (logos) yang berarti hasil
pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam
bahasa.
Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme (Latin: logica
scientia) atau ilmu logika (ilmu pengetahuan) yang mempelajari kecakapan untuk
berpikir secara lurus, tepat, dan teratur.Ilmu disini mengacu pada kemampuan
rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi
untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan
tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal.
· Logika sebagai ilmu pengetahuan
Logika dimulai sejak Thales(624 SM – 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan
cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan
rahasia alam semesta.
Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau
asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif.
Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa
Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta
dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu.
Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut
Aristoteles disimpulkan dari:
- Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan (karena tanpa air tumbuhan mati) - Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia - Air jugalah uap - Air jugalah es
Jadi, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalaharkhe alam semesta.
Sejak saat Thales sang filsuf mengenalkan pernyataannya, logika telah mulai
dikembangkan. Kaum Sofis beserta Plato (427 SM-347 SM) juga telah merintis dan memberikan
saran-saran dalam bidang ini.
Pada masa Aristoteles logika masih disebut dengan analitica , yang secara khusus meneliti berbagai argumentasi yang berangkat dari proposisi yang benar, dan dialektika yang secara khusus meneliti argumentasi yang berangkat dari proposisi yang
masih diragukan kebenarannya. Inti dari logika Aristoteles adalah silogisme.
Buku Aristoteles to Oraganon (alat)
berjumlah enam, yaitu:
1. Categoriae menguraikan pengertian-pengertian
2. De interpretatione tentang keputusan-keputusan
3. Analytica Posteriora tentang pembuktian.
5. Topica tentang
argumentasi dan metode berdebat.
6. De sohisticis elenchis tentang kesesatan dan kekeliruan berpikir.
Pada 370 SM - 288 SM Theophrastus, murid Aristoteles yang menjadi
pemimpin Lyceum,
melanjutkan pengembangn logika.
Istilah logika untuk pertama kalinya dikenalkan oleh Zeno dari Citium 334 SM - 226 SM pelopor Kaum Stoa. Sistematisasi logika terjadi pada
masa Galenus (130 M - 201 M) dan Sextus
Empiricus 200 M, dua orang dokter
medis yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.
Porohyus (232 - 305)
membuat suatu pengantar (eisagoge) padaCategoriae, salah satu
buku Aristoteles.Boethius (480-524)
menerjemahkan Eisagoge Porphyrius
ke dalam bahasa Latin dan menambahkan komentar- komentarnya.Johanes Damascenus
(674 -749) menerbitkan Fons Scienteae.
Manusia menganalisa kenyataan,ia menganalisa gejala-gejala memisahkan,
membedakan, melihat nuansa, menyelami dan dalam segala aktivitas itu ia melihat
adanya keteraturan dan keterkaitan.Manusia mengenal sambil menganalisa dan
bakat ini ada hubungannya dengan distansi yng aneh itu yang dapat diambil
manusia terhadap dunia. Dalam hal iniia lain daripada makhluk-makhluk hidup
lainnya..
Sejak dahulu kala filsafat nampaknya erat hubungannya dengan logika,
kadang-kadang bahkan disamakan dengan logika. Dalam perkembangan filsafat
banyak ilmu, yang semula merupakan bagian filsafat, melepaskan diri dari
filsafat. Tetapi logika, walaupun sejak dulu dipandang sebagai bagian
tersendiri , tak pernah dapat melepaskan diri sepenuhnya dari ikatannya dengan
filsafat.
Logika menganalisa pengetahuan manusia dan proses terjadinya pengetahuan
itu. Yang diselidiki bukan pengetahuan mengenai alam atau kebudayaan atau
mengeani manusia, melainkan pengetahuan mengenai pengetahuan.Logika ini
menelusuri bentuk-bentuk jalan pikiran atau penalaran.
2). Logika dalam abad pertengahan
Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De
Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.
Thomas Aquinas 1224-1274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi
logika.
Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti:Petrus Hispanus (1210 -
1278) dan Roger Bacon (1214-1292).
Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang
dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian. William Ocham
(1295 - 1349) .
Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh
Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (1632-1704)
dalam An Essay Concerning Human UnderstandingFrancis Bacon (1561 - 1626)
mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum
Scientiarum.J.S. Mills (1806 - 1873) melanjutkan logika yang menekankan pada
pemikiran induksi dalam bukunya System of Logic.
Lalu logika diperkaya dengan hadirnya pelopor-pelopor logika simbolik
seperti: Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) menyusun logika aljabar berdasarkan
Ars Magna dari Raymundus Lullus. Logika ini bertujuan menyederhanakan pekerjaan
akal budi dan lebih mempertajam kepastian.
Lalu Chares Sanders Peirce (1839-1914), seorang filsuf Amerika Serikat yang
pernah mengajar di John Hopkins University,melengkapi logika simbolik dengan
karya-karya tulisnya. Ia memperkenalkan dalil Peirce (Peirce's Law) yang
menafsirkan logika selaku teori umum mengenai tanda (general theory of signs)
Puncak kejayaan logika simbolik terjadi pada tahun 1910-1913 dengan
terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang merupakan karya bersama Alfred
North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand Arthur William Russel (1872 - 1970).Logika
simbolik lalu diteruskan oleh Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Rudolf Carnap
(1891-1970), Kurt Godel (1906-1978), dan lain-lain.
3). Logika Modern
Dalam perkembangan Filsafat, nampak bahwa sebuah metafisika lain selalu
berhubungan dengan logika yang berlainan. Hal ini terlihat dalam mazhab Stoa
yang pernah mengembangkan logikanya sendiri. Berabad-abad lamanya logika ini
kurang diperhatikan, tetapi sejak dikembangkannya logika simbolis, logika Stoa
menjadi menarik perhatian lagi. Menurut Aristoteles mengerti suatu pengertian
sekaligus berarti mengerti kenyataan ( logika berhubungan erat dengan ontology
). Silogistik ciptaaan Aristoteles ( teorinya mengenai silogisma ) merangkaikan
pengertian dengan pengertian dan dengan demikian kita dapat meraih tata keadaan
.
Berabad-abad lamanya orang mengira, bahwa logika itu identik dengan
Aristoteles, pemantulan dari hukum-hukum abadi yang menentukan jalan pikiran
kita, sehingga logika itu dapat dikembangkan tetapi tidak dapat diubah secara
mendalam. Banyak pengarang berpendapat bahwa sejak jaman Yunani hanya dalam
bidang logika tidak tercapai kemajuan yang hakiki. Pada abad pertengahan
kadan-kadang menjumpai suatu usaha kearak logika, tetapi terutama Liebniz (
1646-1716 ) dan ahli matematika Inggris Boole – lah yang menciptakan suatu
matematika logis. Tetapi ini belum dapat dinamakan logika simbolik modern.
Sebuah perombakan total diakibatkan oleh karangan G. Frege (1848-1925 )
yang mengajarkan matematika di Jena ( Jerman ). Sistem logikanya disempurnakan
dengan kode-kode yang lebih tepat dan dikembangkan lebih lanjut olreh Peano dan
terutama dalamPrincipia Mathematica (1910-1913) karangan B. Russell dan A. N. Whitehead. Bedanya logika ini
dengan logika klasik adalah cara penyimpulan semata-mata berdasarkan aksioma –
aksioma, arinya menyimpulkan sesuatu dari beberapa aksioma yang jumlahnya
terbatas yang ditambah dengan beberapa kaidah operasional ( kaidah yang
mengatur cara penyimpulan, lepas dari motivasinya kaidah-kaidah tadi, dapat
dinamakan aturan permainan ).” Semata- mata berdasarkan aksioma “ berarti bahwa
sepertti dulu dipandang sebagai kaidah mengenai kenyataan yang tak dapat
ditelusuri atau dimengerti. Dalam pandangan Russell aksioma tidak lagi
berhubungan dengan kenyataan atau dengan pengertian.
Perbedaan kedua dengan logika klasik adalah logika ini semata-mata bersifat
formal memakai simbol-simbol, menarik kesimpulan-kesimpulan, tanpa mengindahkan
arti ( isi, materi ) simbol tadi. Salah satu ciri khas dalam logika Whitehead
dan Russell ialah diselidiki juga benar tidaknya proposisi-proposisi ( “p” dan
“q” ), sama seperti dalam daftar – daftar Stoa: logika bernilai kembar.
Berdampingan dengan logika proposisi (yang berdasarkan
pernyataan-pernyataan), logika modern, sama dengan logika Aristoteles, juga
mengenal logika golongan ( yang berkaitan dengan sifat-sifat yang juga dalam
logika modern ini dapat dipakai glongan-golongan kosong (himpunan, bagian
himpunan, himpunan rata-rata). Yang dimaksud dengan golongan merupakan
perumusan mengenai syarat-syarat yang mendasari pengelompokan unsur-unsur
tertentu. Secara ekstrem suatu proposisi benar dalam segala kemungkinan
kebenaran daripada proposisi elementernya. Dalam hal itu syarat-syarat
kebenaran bersifat tautologis.Wittgenstein berpendapat bahwa tautologis tidak
mengatakan sesuatu mengenai kenyataan.
• Logika sebagai matematika murni
Logika masuk kedalam kategori matematika murni karena matematika adalah
logika yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode
ilmu ukur yang menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (logika
simbolik). Logika tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis,
Galenus (130-201 M) dan Sextus Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan
logika dengan menerapkan metode geometri.Puncak logika simbolik terjadi pada
tahun 1910-1913 dengan terbitnya Principia Mathematica tiga jilid yang
merupakan karya bersama Alfred North Whitehead (1861 - 1914) dan Bertrand
Arthur William Russel (1872 - 1970).
• Manfaat logika
1. Membantu setiap orang
yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap,
tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan
asas-asas sistematis
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan
berpkir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
7.
B. Mazhab Landasan Matematik
1). Mazhab Logisisme
Mazhab ini dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand Arthur William Russell.
Tahun 1903 terbitlah buku karangan beliau The Principle of Mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematik murni semata-mata terdiri atas
deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika.
Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan anatara matematik
dan logika sebagai berikut:”Logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan
matematik menjadi lebih logis. Akibaytnya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya
tak mungkn untuk menarik suatu garis diantara keduanya : sesungguhnya dua hal
itu merupakan sau. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa: logika
merupakan masa muda dari matematik dan matematik merupakan masa dewasa dari
logika”.
2). Mazhab landasan matematik formalisme
Mazhab ini dipelopori oleh ahli matematik dari Jerman yaitu David Hilbert.
Menurut mazhab ini sifat alami dari matematik ialah sebagai sistem lambang yang
formal. Matematik bersangkutpaut dengan sifat-sifat struktural dari
simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Simbol-simbol
dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Simbol-simbol dianggap
mewakili pelbagai sasaran yang menjadi objek matematik.. Bilangan –bilangan
dianggap sebagai sifat-sifat struktural yang paling sederhana dari benda-benda.
Dengan simbolisme abstrak ilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya
menunjukkan bentuknya saja mazhab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari
pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung mazhab tersebut
merumuskan matematik sebagai ilmu tentang sistem – sistem formal. (Mathematics
is the science of formal system).
3). Mazhab landasan matematik Intuitionisme
Mazhab landasan matematik intuitionisme dipelopori oleh ahli matematik
Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematik
adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil –
dalil matematik tereletak dalam akal manusia (human intellect) dan tidak pada
simbol-simbol diatas kertas sebagaimana diyakini oleh mazhab intuitionisme
matematik berlandaskan suatu ilham dasar mengenai kemungkinan untuk membangn
sebuah seri bilangan yang terbatas .
C. Cabang Filsafat Matematika
Filsafat matematik terbagi dalam beberapa bidang sebagai berikut:
1). Epistemologi matematika
Epistemologi matematik adalah teori pengetahuan yang sasaran penelaahannya
ialah pengetahuuan matematik. Epistemologi matematik sebagai salah satu bagian
dari filsafat merupakan pemikiran reflektif terhadap berbagai segi dari
pengetahuan seperti kemungkinan, asal mula, sifat alami, batas-batas, asumsi
dan landasan, validitas dan reliabilitas sampai kebenaran pengetahuan.
Sekelompok pertanyaan mengenai apakah matematik itu, termasuk jenis pengetahuan
apa, bagaimana ciri-cirinya, kesemuanya ini dibahas dalam epistemologi
matematik.
2). Ontologi matematika
Ontologi dipandang sebagai teori mengenai apa yang ada. Hubungan antara
pandangan ontologis dengan matematik cukup banyak menimbulkan
persoalan-persoalan yang dibahas oleh sebagian filsuf matematik. Pandangan
realisme empirik menjawab bahwa cakupan termaksud merupakan suatu realitas.
Eksistensi dari entitas-entitas matematik juga menjadi bahan emikiran
filsafati.
3). Metodologi matematika
Metodologi matematika adalah penelaah terhadap metode yang khusus
dipergunakan dalam matematik. Menurut Alfred Tarski bidang sytudi ini dikenal
dengan sebutan yang berkali-kali berubah, semu;la methodology of deductive
sciences (metodologi ilmu-ilmu deduktif), kemudian digan ti dengan theory of
proof (teori pembuktian) dan selanjutnya meta-logic da meta-mathematics,
sedangkan akhir-akhir ini uncul logical syntax and semantis of deductive
sciences (sintak logis dan semantik dari ilmu-ilmu deduktif).Metode yang khusus
dari matematik dikenal sebagai axiomatic method (metode aksiomatik) atau
hypotecal-deductive method (metode hipotetik-deduktif).
4). Logical structure dari matematika
Logical structure dari matematika merupakan bagian dari filsafat matematik
yang membahas sasarannya
sebagai sebuah struktur yang sepenuhnya bercorak logis. Struktur yang demikian
tunduk pada kaidah-kaidah logika, mensyaratkan standar tinggi dalam ketelitian
logis, dan mencapai kesimpulan-kesimpulan logis tanpa menghiraukan keadaan
syaratny dari dunia empirik. Dari segi struktur yang demikian maka matematik
didefiniasikan ebagi sebuah kumpulan dari sistem-sisytem yang lgis (logical
system). Jadi sifat alami dari matematik ialah logis dan bahkan penulisan dalam
bidang pengetahuan matematik perlu pula dengan gaya yang logis.
5). Implikasi etis dari matematika
Perkembangan matematika yang sangat luas dan kemajuannya yang luar biasa
pesat dalam abad ini mau tidak mau mempunyai implikasi-implikasi tertentu bagi
perilaku manusia terutama yang bersifat etis dalam masyarakat. Sebagai
contoh,misalnya perkembangan aritmatik peduaan(binary arithmetic) yang berpadu
dengan tekhnologi elektronik yang telah melahirkan macam-macam komputer untuk
aneka ragam tugas untuk menyimpan data-data perseorangan, melakukan pembukuan
uang, mengatur persediaan barang, menyiapkan surat-menyurat, sampai menjual
karcis tontonan.
6). Aspek estetik dari matematika
Dalam kepustakaan matematika tidak jarang matematik dipandang sebagai suatu
seni (art). Dan karena matematik merupakan suatu karya seni,matematik pada
dirinya mengandung keindahan. Keindahan itu dapat tercapai karena adanya ide
yang orisinil, kesederhanaan dalil, kecermelangan jalan pikiran atau suatu ciri
lainnya dalam matematik. Ciri seni dan sifat indah merupakan aspek estetis dari
matematik yang juga di telaah oleh filsafat metematika.
D. Matematika sebagai bahasa
Menurut Galileo Galilei (1564-1642), seorang ahli matematika dan astronomi
dari Italia,"Alam semesta itu bagaikan sebuah buku raksasa yang hanya
dapat dibaca kalau orang mengerti bahasanya dan akrab dengan lambang dan huruf
yang digunakan di dalamnya. Dan bahasa alam tersebut tidak lain adalah
matematika. Berbicara mengenai matematika sebagai bahasa, maka pertanyaan yang
muncul kemudian adalah dalam sudut pandang mana matematika itu disebut sebagai
bahasa, dan apa perbedaan antara bahasa matematika dengan bahasa-bahasa
lainnya.
Merujuk pada pengertian bahasa di atas, maka matematika dapat dipandang
sebagai bahasa karena dalam matematika terdapat sekumpulan lambang/simbol dan
kata (baik kata dalam bentuk lambang, misalnya ">=" yang
melambangkan kata "lebih besar atau sama dengan", maupun kata yang
diadopsi dari bahasa biasa, misalnya kata "fungsi" yang dalam
matematika menyatakan suatu hubungan dengan aturan tertentu antara unsur-unsur
dalam dua buah himpunan).
Matematika adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari
pernyataan yang ingin kita sampaikan. Simbol-simbol matematika bersifat
"artifisial" yang baru memiliki arti setelah sebuah makna diberikan
kepadanya. Tanpa itu, maka matematika hanya merupakan kumpulan simbol dan rumus
yang kering akan makna. Berkaitan dengan hal ini, tidak jarang kita jumpai
dalam kehidupan, banyak orang yang berkata bahwa X, Y, Z itu sama sekali tidak
memiliki arti.
Sebagai bahasa, matematika memiliki kelebihan jika dibanding dengan
bahasa-bahasa lainnya. Bahasa matematika memiliki makna yang tunggal sehingga
suatu kalimat matematika tidak dapat ditafsirkan bermacam-macam. Ketunggalan
makna dalam bahasa matematika ini, penulis menyebutnya bahasa matematika
sebagai bahasa "internasional", karena komunitas pengguna bahasa
matematika adalah bercorak global dan universal di semua negara yang tidak
dibatasi oleh suku, agama, bangsa, negara, budaya, ataupun bahasa yang mereka
gunakan sehari-hari. Bahasa yang dipakai dalam pergaulan sehari-hari sering
mengandung keraguan makna di dalamnya. Kerancuan makna itu dapat timbul karena
tekanan dalam mengucapkannya ataupun karena kata yang digunakan dapat
ditafsirkan dalam berbagai arti.Bahasa matematika berusaha dan berhasil
menghindari kerancuan arti, karena setiap kalimat (istilah/variabel) dalam
matematika sudah memiliki arti yang tertentu. Ketunggalan arti itu mungkin
karena kesepakatan matematikawan atau ditentukan sendiri oleh penulis di awal
tulisannya. Orang lain bebas menggunakan istilah/variabel matematika yang
mengandung arti berlainan. Namun, ia harus menjelaskan terlebih dahulu di awal
pembicaraannya atau tulisannya bagaimana tafsiran yang ia inginkan tentang
istilah matematika tersebut. Selanjutnya, ia harus taat dan tunduk
menafsirkannya seperti itu selama pembicaraan atau tulisan tersebut.
Bahasa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat
kabur, majemuk, dan emosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang dari
matematika dibuat secara artifisial dan individual yang merupakan perjanjian
yang berlaku khusus suatu permalahan yang sedang dikaji. Suatu obyek yang
sedang dikaji dapat disimbolkan dengan apa saja sesuai dengan kesepakatan kita
(antara pengirim dan penerima pesan). Kelebihan lain matematika dipandang
sebagai bahasa adalah matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan
untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif.
Matematika memungkinkan suatu ilmu atau permasalahan dapat mengalami
perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Perkembangan ini merupakan
suatu hal yang imperatif bila kita menghendaki daya prediksi dan kontrol yang
lebih tepat dan cermat dari suatu ilmu. Beberapa disiplin keilmuan, terutama
ilmu-ilmu sosial, agak mengalami kesukaran dalam perkembangan yang bersumber
pada problem teknis dan pengukuran. Kesukaran ini secara bertahap telah mulai
dapat diatasi, dan akhir-akhir ini kita melihat perkembangan yang
menggermbiarakan, di mana ilmu-ilmu sosial telah mulai memasuki tahap yang
bersifat kuantitaif. Pada dasarnya matematika diperlukan oleh semua disiplin
keilmuan untuk meningkatkan daya prediksi dan kontrol dari ilmu tersebut.
Bagi dunia keilmuan, matematika memiliki peran sebagai bahasa simbolik yang
meungkinkan terwujudnya komunikasi yang cermat dan tepat. Matematika dalam
hubungannya dengan komunikasi ilmiah mempunyai perang anda yakni sebagi ratu
dan sekaligus sebagai pelayan ilmu. Di satu sisi, sebagai ratu matematika
merupakan bentuk tertinggi dari logika, sedangkan di sisi lain, sebagai pelayan
matematika memberikan bukan saja sistem pengorganisasian ilmu yang bersifat
logis namun juga pernyataan-pernyataan dalam bentuk model matematik. Matematika
bukan saja menyampaikan informasi secara jelas dan tepat namun juga singkat.
Suatu rumus yang jikat ditulis dengan bahasa verbal membutuhkan rentetan
kalimat yang banyak sekali, di mana makin banyak kata-kata yang dipergunakan
maka makin besar pula peluang untuk terjadinya salah informasi dan salah interpretasi,
maka dalam bahasa matematika cukup diulis dengan model yang sederhana
sekali. Dalam hal ini, menurut Morris Kline, menambahkan bahwa ciri bahasa
matematika yaitu bersifat ekonomis.Pemodelan matematika merupakan akibat dari
penyelesaian permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari yang
diselesaikan menggunakan matematika. Masalah nyata dalam kehidupan biasanya
timbul dalam bentuk gejala-gejala yang belum jelas hakikatnya. Kita masih harus
membuang faktor-faktor yang tidak/kurang relevan, mencari data-data dan
informasi tambahan, lalu kita menemukan hakikat masalah sebenarnya. Langkah ini
dinamakan sebagai mengidentifikasi masalah. Misalnya seorang pasien datang ke
dokter dengan keluhan kepalanya pusing dan perut sakit. Berdasarkan keluhan itu
dokter mengadakan beberapa tes dan dengan pengalaman dan dasar ilmunya, ia akan
mengadakan analisis, lalu memberikan diagnosis. Diagnosis inilah merupakan
identifikasi masalah. Langkah selanjutnya setelah mengidentifikasi masalah,
maka melalui beberapa pendefinisian diadakan penerjemahan masalah ke bahasa
lambang, yaitu matematika. Penerjemahan ini disebut pemodelan matematika.
Setelah model matematika jadi, maka dicari alat yang dapat digunakan untuk
menyelesaikannya. Pemodelan inilah yang menjadi kunci dalam penerapan
matematika. Memodelkan masalah ke dalam bahasa matematika berarti menirukan
atau mewakili objek yang bermasalah dengan relasi-relasi matematis. Istilah
faktor dalam masalah menjadi peubah atau variabel dalam matematika. Pada
hakikatnya, kerja pemodelan tidak lain adalah abstraksi dari masalah nyata
menjadimasalah(model) matematika
Selain sebagai bahasa, matematika juga berfungsi sebagai alat berpikir.
Ilmu merupakan pengetahuan yang mendasarkan kepada analisis dalam menarik kesimpulan
menurut suatu pola berpikir tertentu. Menurut Wittegenstein, matematika
merupakan metode berpikir yang logis. Berdasarkan perkembangannya maka masalah
yang dihadapi logika makin lama makin rumit dan membutuhkan struktur analisis
yang lebih sempurna. Dalam perspektif inilah maka logika berkembang menjadi
matematika, sebagaimana yang disimpulkan oleh Bertrand Russell,
"matematika adalah masa kedewasaan logika, sedangkan logika adalah masa
kecil matematika". Komunikasi yang terjadi dalam matematika dapat terjadi, di antaranya dalam:
1) Dunia nyata,
ukuran dan bentuk lahan dalam dunia pertanian (geometri), banyaknya barang dan
nilai uang logam dalam dunia bisnis dan perdagangan (bilangan), ketinggian
pohon dan bukit (trigonometri), kecepatan gerak benda angkasa (kalkulus),
peluang dalam perjudian (probabilitas), sensus dan data kependudukan
(statistika), dan sebagainya.
2). Struktur abstrak dari suatu sistem, antara lain struktur sistem
bilangan (grup, ring), struktur penalaran (logika matematika), struktur
berbagai gejala dalam kehidupan manusia (pemodelan matematika), dan sebagainya.
3).Matematika sendiri yang merupakan bentuk komunikasi matematika yang
digunakan untuk pengembangan diri matematika. Bidang ini disebut
"metamatematika".
Jadi, sejak awal kehidupan manusia matematika itu merupakan alat bantu
untuk mengatasi berbagai macam permasalahan yang terjadi dalam kehidupan
masyarakat. Baik itu permasalahan yang masih memilki hubungan erat dalam
kaitannya dengan ilmu eksak ataupun permasalahan-permasalahan yang bersifat
sosial. Peranan matematika terhadap perkembangan sains dan teknologi sudah
jelas, bahkan kalu boleh penulis katakan bahwa tanpa matematika, sains dan
teknologi tidak akan dapat berkembang.
E). Metode filsafat matematik
1. Metode
reductio ad absurdum
Metode ini dikembangkan oleh Zeno, salah seorang murid Parmenides. Zeno
sering disebut sebagai Bapak Metafisika Barat yang pertama. Metode ini adalah
metode yang ingin meraih kebenaran, dengan membuktikan kesalahan premis-premis
lawan, yang caranya dengan mereduksi premis lawan menjadi kontradiksi sehingga
kesimpulannya menjadi mustahil. Inilah reductio ad absurdum.
Zeno mengikuti argumentasi Parmenides tentang monisme realitas. Argumentasi
Zeno ini dipakai untuk mempertahankan serangan dari ide pluralisme. Zeno
mengatakan seandainya ada banyak titik yang terdapat di antara titik A dan B,
berarti kita harus mengakui adanya titik-titik yang tak terbatas di antara A
dan B. Jika titiknya tak terbatas, jarak tak terbatas antara A dan B tidak
mungkin tercapai. Tapi jika ada orang yang bisa berjalan dari A ke B, itu
berarti jarak A dan B dapat dilintasi. Jika A ke B bisa dilintasi berarti jarak
A dan B terbatas. Jadi jika kita menarik hipotesis mula yang mengatakan bahwa
ada banyak titik yang terdapat di antara titik A dan titik B adalah salah.
Maka, pluralitas adalah absurd, mustahil dan tidak masuk akal.
Parmenides pernah mengatakan bahwa tidak ada ruang kosong, yang berarti
bahwa yang ada tidak berada dalam ada yang lain karena yang ada pasti mengisi
seluruh tempat. Zeno melengkapi argumentasi itu dengan pernyataan: jika ada
ruang kosong, ruang kosong itu berada dalam ruang kosong yang lain dan ruang
kosong yang lain itu berada dalam ruang kosong yang lain pula dan seterusnya
sampai tak terbatas. Itu artinya akan ada senantiasa ruang dalam ruang. Oleh
karena itu, jika dikatakan bahwa yang ada berada dalam ada yang lain, jelas
bahwa pernyataan itu tidak benar. Yang benar adalah yang ada tidak berada dalam
ada yang lain. Tegasnya, ruang kosong itu tidak mungkin berada dalam ruang
kosong yang lain karena yang ada itu senantiasa mengisi seluruh tempat sehingga
hipotesis yang mengatakan bahwa ruang kosong itu ada adalah suatu yang
mustahil.
Zeno menambahkan jika ruang kosong itu tidak ada, berarti gerak tidak ada.
Ini karena jika dikatakan bahwa gerak itu ada, berarti bahwa ruang kosong harus
ada karena gerak dimungkinkan jika ada ruang kosong. Zeno membuktikan hal itu
dengan empat contoh terkemuka: dikotomi paradoks, Akhiles - si pelari, Anak
panah dan Benda yang bergerak bertentangan.
Metode Zeno ini memberikan nilai abadi bagi filsafat karena tidak ada
pernyataan yang melahirkan pertentangan yang dianggap benar. Hukum tidak ada
pertentangan ini merupakan prinsip fundamental dalam logika. Metode Zeno ini
berguna dalam orasi dan perdebatan yang rasional dan logis. Zeno adalah orang
pertama yang juga menggunakan metode dialektik, dalam arti bahwa orang mencari
kebenaran lewat perdebatan dan bersoal secara sistematis.
2. Metode
silogisme deduktif
Metode ini dikembangkan oleh Aristoteles. Aristoteles menyatakan bahwa ada
dua metode yang dapat digunakan untuk menarik kesimpulan yang benar, yaitu
metode induktif dan deduktif. Induksi adalah cara menarik kesimpulan yang
bersifat umum dari hal yang khusus. Deduksi adalah cara menarik kesimpulan
berdasarkan dua kebenaran yang pasti dan tak diragukan lagi. Induksi berawal
dari pengamatan dan pengetahuan inderawi. Sementara, deduksi terlepas dari
pengamatan dan pengetahuan inderawi.Aristoteles dalam filsafat Barat dikenal
sebagai Bapak Logika Barat. Logika adalah salah satu karya filsafat besar yang
dihasilkan oleh Aristoteles.Sebenarnya, Logika tidak pernah digunakan oleh Aristoteles.
Logika dimanfaatkan untuk meneliti argumentasi yang berangkat dari
proposisi-proposisi yang benar, yang dipakainya istilah analitika. Adapun untuk
meneliti argumentasi-argumentasi yang bertolak dari proposisi-proposisi yang
diragukan kebenarannya, dipakainya istilah dialektika.Inti logika adalah
silogisme. Silogisme adalah alat dan mekanisme penalaran untuk menarik
kesimpulan yang benar berdasarkan premis-premis yang benar adalah bentuk formal
penalaran deduktif. Deduksi, menurut Aristoteles, adalah metode terbaik untuk
memperoleh kesimpulan untuk meraih pengetahuan dan kebenaran baru. Itulah
metode silogisme deduktif.Silogisme adalah bentuk formal deduksi. Silogisme
mempunyai tiga proposisi. Proposisi pertama dan kedua disebut premis. Proposisi
ketiga disebut kesimpulan yang ditarik dari proposisi pertama dan kedua. Tiap
proposisi mempunyai dua term. Maka, setiap silogisme mempunyai enam term.
Karena setiap term dalam satu silogisme biasa disebut dua kali, maka dalam
setiap silogisme hanya mempunyai tiga term. Apabila proposisi yang ketiga
disebut kesimpulan, maka dalam proposisi yangketiga terdapat dua term dari
ketiga term yang disebut tadi. Yang menjadi subjek konklusi disebut term minor.
Predikat kesimpulan disebut term mayor. Term yang terdapat pada dua proposisi
disebut term tengah.Pola dan sistematika penalaran silogisme-deduktif adalah
penetapan kebenaran universal kemudian menjabarkannya pada hal yang lebih
khusus.
3. Metode
skeptisisme
Metode Skeptisisme ini dikembangkan oleh Rene Descartes. Dalam bidang
matematika, Rene Descartes memadukan prinsip geometri dan aritmatika dengan
menggunakan prinsip rumus aljabar yang kemudian dikenal dengan koordinat
kartesian.
Awal filsafat Descartes adalah kebingungan. Filsafat begitu beragam dan
dianggap Descartes sebagai ilmu yang simpang siur serta penuh dengan
kontradiksi. Dalam kebingungannya, Descartes merasa harus berbuat lebih untuk
penyempurnaan filsafat. Ia mencoba menyusun ilmu induk yang mengatasi seluruh
ilmu pengetahuan dengan metode ilmiah yang bersifat umum dan cocok digunakan
dalam segala ilmu. Logika Aristoteles tidak bermanfaat karena lewat logika itu
tidak tercapai pengetahuan yang baru. Descartes mencoba untuk melepaskan diri
dari ajaran-ajaran tradisional agar ia bisa memperbaharui filsafat dan ilmu
pengetahuan.
F). Aliran Filsafat Matematika
1. Aliran
Absolutism
Yang termasuk aliran absolutism adalah sekolah logicist, formalist dan
intuitionist. Pada sekolah-sekolah tersebut tidak ada filsafat matematika.
Tujuan pengajaran mereka seharusnya berdasarkan kepada filsafat matematika,
termasuk unsur luar sosial dan unsur sejarah, seperti pemanfaatan matematika
dan keberadaannya. Karena kefanatikannya, sekolah–sekolah tersebu tidak dapat
memberikan sumbangan secara lebih luas atas dasar matematika. Jadi, mereka
tidak hanya gagal dalam menentukan dasar-dasar tujuan, tetapi juga tidak dapat
memberi aspek filsafat matematika.
2.
Aliran progressif absolutism
Bentuk aliran lain dari aliran absolutism dalam matematika dapat
didefinisikan sepeti apa yang terjadi pada filsafat sains, Confrey (1983)
membedakan antara aliran filsafat formal absolutist dan filsafat progressif
absolutist.
3.
Aliran Conventionalism
Aliran ini berpandangan bahwa pengetahuan matematika dan kebenaran
berlabdaskan kepada kesepakatan bahasa. Secara khusus kebenaran matematika dan
logika adalah bersifat analitik, dan kebenaran ditentukan oleh arti dari istilah yang terkandung. Tokoh dari aliran ini adalah Quine
(1936) dan Hempel (1945) .
4.
Aliran Empiricism
Aliran ini berpendapat bahwa hakekat matematika adalah pengambilan
kesimpulan berdasar atas langkah-langkah empiris. Aliran ini dibedakan menjadi
2 macam thesis, yaitu:
1. pemahaman matematika mempunyai landasa secara empiris
2. kebenaran matematika mempunyai pembenaran secara empiris yaitu diturunkan
dari pengamatan terhadap benda-benda konkrete
G). Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Ilmu-ilmu deduktf adalah ilmu –ilmu matematik. Dlam hal ini sesungguhnya
dalil-dalil tidaklah dibuktikan kebenmarannya melalui penyelidikan empiric.,
melainkan melaui penjabaran dalil-dalil yang sudah diperoleh sebelimnya, dan
yang terakhir ini pada gilirannya juga dibuktikan kebenarannya dari dalil yang sudah ada sebelumnya, dan begitu setrusnya. Dalil –dalil
matematik dibuktikan kebenarannya berdasarkan atas dalil-dalil yang lain, dan
bukannya berdasarkan atas pengamatan. Kiranya jelas bahwa secara emikian orang
tidak akan dapat bertanya secara tidak terbatas. Sudah pasti pada suatu saat
tertentu orang harus memulai dengan dalil-dalil yang diterima kebenarannya
tanpa bukti, yaitu aksioma-aksioma atau postulat-postulat.
Perumusan matematika tidak selesai dengan ditentukannya hubungan, pola,
bentuk, dan rakitan sebagi sasarannya. Keempat sasaran itu hanyalah semakin
menegaskan bahwa matematika menyangkut pengertian-pengertian abstrak. Dalam
matematika dewasa ini, sifat-sifat dari pengertian-pengertian abstrak itulah
yang ditelaah. Bahkan menurut Salomon Bochner,matematika tidak berhubungan
dengan perwujudan-perwujudan dan benda-benda dari dunia luar, melainkan hanya
dengan hal-hal dan hubungan-hubungan yang merupakan gambaran-gambaran yang
diciptakannya sendiri. Dengan ini lahirlah pendapat yang menganggap matematika
sebagai “the study of abstract system, i.e., as the study of ‘game’ which are
played with abstract object whose behavior is characterized with given sets of
rules” (penelaahan tentang system-sistem abstrak, yakni sebagai penelaah
tentang ‘permainan-permainan’ yang dimainkan dengan sasaran-sasaran abstrak
yang perilakunya dirincikan dengan kumpulan-kumpulan aturan yang
ditentukan).
Pendapat itu sesuai dengan pendirian filsuf Charles Sander Pierce
(1839-1941) yang menyatakan bahwa matematika tidak berhubungan dengan keadaan
senyatanya dari benda-benda, melainkan semata-mata dengan keadaan pengandaian
dari benda-benda. Batasan tentang matematika berbunyi sebagai berikut: “Mathematics
is the study of what is true of hypothetical state of things. That is its
essence and definition” (matematika adalah penelaahan tenatang apa yang benar
mengenai keadaan pengandaian dari benda-benda. Itulah saripati dan batasannya).
Dengan demikian, matematika tergolong sebagai ilmu yang bersifat abstrak
atau seringkali disebut matematika murni. Karena cirri-cirinya yang abstrak dan
murni itu, Bertrand Russell membuat perumusan dalam 1901 yang sampai sekarang
terkenal dan bunyinya sebagai berikut:
“Thus mathematics may be defined as subject in which we never know we are
talking about nor whwther what we are saying is true.”
(Dengan demikian, matematika dapat didefinisikan sebagai mata pelajaran
yang didalamnya kita tidak pernah mengetahui apa yang sedang kita bicarakan
maupun apakah yang kita katakana adalah benar)
Makna perumusan Russel itu adalah bahwa setiap system matematika sebagai
landasannya yang berpangkat pada unsur-unsur yang tidak diterangkan lebih
lanjut. Dengan kata lain, semua perumusan dalam matematika pada akhirnya
didasarkan pada istilah-istilah yang tidak diuraikan artinya. Istilah-istilah
itu dalam bentuk lambang-lambang balaka tidak memiliki arti dari dunia nyata.
Oleh karena itu, para ahli matematika tidak mengetahui apa yang sedang
dibicarakan dalam matematika. Sebagai contoh, misalnya apabila orang
memperbincangkan tentang (x+y)2=x2+2xy+y2, ia tidak mengetahui apa isinya
lambing x dan y itu selama bergerak dalam bidang matematika abstrak.
Selanjutnya dalam melakukan langkah-langkah pengerjaan terhadap
istilah-istilah yang tak diuraikan artinya, para ahli matematika manbuat
kesimpulan-kesimpulan atau pembuktian-pembuktian berdasarkan mermagai
pernyataan yang telah ditetapkan dimuka. Pada tahap terakhir mereka terpaksa
harus berhenti pada pernyataan-pernyataan yang tak dibuktikan.
Pernyataan-pernyataan yang tidak dibuktikan ini dinamakan aksioma atau postulat.
Misalnya pernyataan bahwa “melalui dua titik yang berbeda hanya dapat ditarik
satu dan hany satu garis lurus”. Oleh karena itu, dalam matematika murni
apabila para ahli membuat kesimpulan atau menyusun dalil-dalil dari
aksioma/postulat itu, mereka juga tidak mengetahui apakah yang dikatakan itu
benar atau tidak dalam hubungannya dengan dunia nyata. Kesimpulan atau dalil
ini hanyalah berlaku sesuai dengan deduksi yang dijalankan menurut hokum-hukum
logika.
Dari uraian tersebut diatas ternyata matematika selain merupakan suatu ilmu
yang bersifat abstrak juga bersifat deduktif. Sebagai ilmu yang dedukti, hal
yang lebih utama bagi matematika bukanlah sasaran-sasaranya, melaikan metode
logika atau metode pembuataan kesimpulan yang dipakai. Oleh karena itu, dalam
abad 20 ini terdapat pendirian yang memandang matematika sebagai metode
pemikiran. Dalam pernyaaan Morris Kline:
“Primarily, mathematics is amethod of inquiry known as postulation
thinking. The method consists in carefully formulating definitions of the concepts
to be discussed and in explicitly stating the assumptions that shall be the
basis for reasoning. From these definitions and assumptions conclusions are
deduced by the application of the most rigorous logic man is capable of using”.
(Terutama matematika adalah suatu metode penyelidikan yang dikenal sebagai
pemikiran berdasarkan postulat. Metode ini terdiri dari merumuskan secara
seksama definisi-definisi tentang pengertian-pengertian yang akan dibahas dan
menyebutkan secara tegas patokan berfikir yang akan merupakan dasar bagi
penalaran. Dari definisi-definisi dan patokan berfikir ini dturunkanlah
kesimpulan-kesimpulan dengan menerapkan logika paling ketat yang mungkin
dipakai orang).
DAFTAR PUSTAKA
C.A.Van Peursen.1985.Orientasi di Alam Filsafat.Jakarta:Gramedia
The Liang Gie.1985.Filsafat matematika.Yogyakarta:Supersukses
Marsigit.2001.Filsafat Pendidikan Matematika.Yog
yakarta
Tidak ada komentar:
Posting Komentar